最小二乗アジャストの概要

このトピックは、ArcEditor および ArcInfo にのみ適用されます。

既存の調査ポイントからの 1 つの観測（距離と方位）を使用して、新しい調査ポイントの座標を計算できます。ただし、1 つの観測では、すべての計測値が正確であることを確認することができないため、これだけに頼るのは危険です。同一の調査ポイントまたは既存の別の調査ポイントからの第 2 の計測値を使用すれば、第 1 の計測値によって定義される座標を確認または検証できます。一般的に、調査ポイントの座標を定める計測値が多いほど、座標の信頼性が高くなります。このような追加的な計測値は、重複的な計測値と呼ばれます。

加重平均

すべての計測値には、いくぶんかの誤差が含まれています。このため、同一の調査ポイントであっても、各計測値から計算される座標は若干異なります。実務上、1 つの調査ポイントに対する座標は 1 つにする必要があります。計算値の精度によって定義される重み（ウェイト）を使って追加的または重複的な計測値の加重平均を算出すれば、1 つの最良な推定座標を得ることができます。

加重平均の計算

単一ポイントの場合には加重平均の方法で対応することができますが、この方法は、パーセル ファブリックのようなネットワーク内のマルチポイントの座標を計算するには十分ではありません。ポイント間の多数の計測可能な経路に対応する場合は、より高度な方法が必要です。最小二乗アジャストの手法とアルゴリズムは、計測やポイントのネットワーク処理について広く普及している最も厳密なソリューションです。

ネットワーク内のマルチポイント

最小二乗アジャストは、ネットワーク内の複数の計測値によって定義されるポイントの、統計的に最も可能性の高い座標位置を導き出す、確率論に基づく数学的方法です。数学的に説明すると、最小二乗アジャストは、計測残余の二乗和の最小値を求めることにより、加重計測値について最適な解を定義します。計測残余とは、計測値を、最小二乗アジャストによって特定された最適な解に一致させる補正に必要な数量です。

最小二乗アジャストを使用したパーセル ファブリックの調整

パーセル ファブリックで最小二乗アジャストを使用すると、すべての計測値データとコントロール ポイントを使用して、ネットワーク内の各ポイントについて、最も可能性の高い座標が予測されます。最小二乗アジャストは、ファブリックのネットワークにある 2 つのコントロール ポイント間の 1 つのトラバース パスについて考えるとわかりやすいでしょう。ファブリック ポイント P1 と P5 は、対応するコントロール ポイント CP1 と CP2 に一致するはずです。最小二乗アジャストを使用すると、P1 と CP1 の間、および P5 と CP2 の間の閉合差が、P1 と P5 がそれぞれのコントロール ポイントに一致するように、残りのポイント P2、P3、および P4 を通じて調整されます。P2、P3、および P4 の座標が最適な解になるよう調整され、調整されたポイントから各ラインが再計算されます。パーセル ファブリックの場合、パーセル ラインの精度が最小二乗アジャストの加重体系となります。加重の高いラインの調整量は、加重の低いラインよりも小さくなります。パーセル ラインの加重は、精度が高いものほど高くなります。下の図では、P2 と P3 の間のラインの精度が高いため、加重も高くなっています。最小二乗アジャストでは、P2 から P3 のラインの調整量がトラバース パス内の他のラインよりも比例的に小さくなります。

コントロールを使用した最小二乗アジャスト

元のライン、および調整された座標から計算したラインの間の残余差異により、各パーセル ライン同士の重なり具合とコントロール ポイントとの重なり具合がわかります。残余が大きい場合は、最適な解に一致させるために元の値を大幅に変更する必要があったことを意味し、そのパーセル ラインまたは近隣のパーセル ラインに問題がある可能性を示しています。