Présentation de la compensation par les moindres carrés

Cette rubrique s'applique uniquement à ArcEditor et ArcInfo.

Une seule observation (relèvement et distance) d'un point d'arpentage existant peut permettre de calculer les coordonnées d'un nouveau point d'arpentage. Toutefois, compter sur une seule observation présente certains risques, puisqu'il n'existe aucun moyen de dire si la mesure est correcte. Une deuxième mesure du même ou d'un autre point d'arpentage existant permettra d'obtenir confirmation ou de vérifier les coordonnées définies par la première mesure. En général, plus les mesures permettant de déterminer les coordonnées d'un point d'arpentage sont nombreuses, plus les coordonnées sont fiables. Ces mesures supplémentaires sont dites redondantes.

Moyenne pondérée

Toutes les mesures sont sujettes à un certain niveau d'erreur. Par conséquent, chaque mesure calcule des coordonnées légèrement différentes pour le même point d'arpentage. Pour des raisons pratiques, il doit y avoir une seule position des coordonnées pour un point d'arpentage. Une coordonnée unique correspondant à la meilleure estimation peut être déterminée en calculant une moyenne pondérée des mesures supplémentaires ou redondantes, chaque pondération étant définie par la précision de mesure.

Calcul d'une moyenne pondérée

Bien que l'approche de la moyenne pondérée fonctionne pour un point unique, elle ne permet pas de calculer les coordonnées de plusieurs points dans un réseau tel que l'atelier parcellaire. Une méthode plus évoluée est requise pour tenir compte des nombreuses possibilités de mesure entre les points. Les techniques et algorithmes d'une compensation par les moindres carrés fournissent la solution la plus rigoureuse et la plus largement acceptée pour le traitement d'un réseau de mesures et de points.

Plusieurs points dans un réseau

La compensation par les moindres carrés est une procédure mathématique basée sur la théorie de probabilité qui détermine la position des coordonnées de points statistiquement la plus probable, comme définie par plusieurs mesures dans un réseau. En termes mathématiques, une compensation par les moindres carrés définit la solution la mieux adaptée pour les mesures pondérées en trouvant un minimum pour la somme des carrés des mesures résiduelles. Une mesure résiduelle correspond au montant requis pour corriger une mesure afin de l'ajuster dans la solution la mieux adaptée trouvée par la compensation par les moindres carrés.

Utilisation d'une compensation par les moindres carrés pour ajuster un atelier parcellaire

Dans l'atelier parcellaire, la compensation par les moindres carrés utilise toutes les données de mesure avec des points de contrôle pour estimer la coordonnée la plus probable pour chaque point du réseau. Cette description de la compensation par les moindres carrés peut être assimilée plus facilement si l'on considère un trajet de cheminement entre deux points de contrôle dans le réseau d'atelier. Les points d'atelier P1 et P5 doivent être coïncidents avec les points de contrôle CP1 et CP2 correspondants. La compensation par les moindres carrés ajuste l'erreur d'écart de fermeture entre P1 et CP1 ainsi que P5 et CP2 via les points restants P2, P3 et P4, de sorte que P1 et P5 deviennent coïncidents avec leurs points de contrôle. Les coordonnées de P2, P3 et P4 sont ajustées dans la solution la mieux adaptée et les lignes sont recalculées à partir des points ajustés. Dans l'atelier parcellaire, la précision sur les lignes de parcelle joue le rôle d'un système de pondération dans la compensation par les moindres carrés. Les lignes présentant les pondérations les plus élevées seront moins ajustées que les lignes avec des pondérations inférieures. Plus la précision est élevée, plus la pondération sur une ligne de parcelle est importante. Dans le graphique ci-dessous, la ligne entre P2 et P3 a une précision élevée et donc une pondération importante. Dans la compensation par les moindres carrés, la ligne P2-P3 a reçu proportionnellement un ajustement moindre que les autres lignes dans le trajet de cheminement.

Compensation par les moindres carrés avec contrôle

Les différences résiduelles entre les lignes originales et les lignes calculées à partir des coordonnées ajustées révèlent comment les lignes de parcelle s'ajustent entre elles et avec les points de contrôle. Une valeur résiduelle importante suggère un problème avec la ligne de parcelle elle-même ou des lignes de parcelle proches, étant donné que la valeur d'origine a nécessité un changement important pour s'intégrer à la solution la mieux adaptée.