Métodos basados en ecuaciones
Los métodos de transformación basados en ecuaciones pueden clasificarse en los siguientes cuatro tipos de métodos.
Métodos de tres parámetros
El método de transformación de datum más simple es una transformación geocéntrica, o de tres parámetros. La transformación geocéntrica modela las diferencias entre dos datums en el sistema de coordenadas cartesianas XYZ o 3D. Un datum se define con su centro en 0,0,0. El centro del otro datum se define a una determinada distancia (dx, dy, dz o ΔX, ΔY, ΔZ) en metros.
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Habitualmente, los parámetros de transformación se definen en el sentido "desde" un datum local "hasta" el Sistema Geodésico Mundial (WGS) de 1984 u otro datum geocéntrico.
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Los tres parámetros son desplazamientos lineales y están siempre en metros.
Métodos de siete parámetros
Es posible una transformación de datum más compleja y precisa agregando cuatro parámetros más a una transformación geocéntrica. Los siete parámetros son tres desplazamientos lineales (dx, dy, dz), tres rotaciones angulares alrededor de cada eje (rx, ry, rz) y un factor de escala.
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Los valores de rotación se dan en segundos decimales, mientras que el factor de escala está en partes por millón (ppm). Los valores de rotación se definen de dos maneras diferentes: como positivos en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario a las agujas del reloj según se mira hacia el origen de los sistemas XYZ.
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La ecuación anterior es la definición de las ecuaciones que se utiliza en los Estados Unidos y Australia, y se llama transformación de rotación de marco de coordenadas. Las rotaciones son positivas en sentido contrario a las agujas del reloj. Europa utiliza otra convención, denominada transformación de vector de posición. Los dos métodos se conocen a veces como el método Bursa-Wolf. En el motor de proyección, los métodos de marco de coordenadas y Bursa-Wolf son iguales. Se admite tanto el método de marco de coordenadas como el de vector de posición, y es fácil convertir valores de transformación de un método a otro cambiando simplemente los signos de los tres valores de rotación. Por ejemplo, los parámetros para convertir del datum WGS 1972 al datum WGS 1984 con el método de marco de coordenadas son (en el orden dx, dy, dz, rx, ry, rz, s):
(0.0, 0.0, 4.5, 0.0, 0.0, -0.554, 0.227)
Para utilizar los mismos parámetros con el método de vector de posición, cambie el signo de la rotación para que los nuevos parámetros sean éstos:
(0.0, 0.0, 4.5, 0.0, 0.0, +0.554, 0.227)
Es imposible decir, a partir solamente de los parámetros, qué convención se está utilizando. Si se utiliza el método equivocado, los resultados pueden devolver coordenadas imprecisas. La única manera de determinar cómo están definidos los parámetros es comprobando un punto de control cuyas coordenadas se conozcan en los dos sistemas.
El método de Molodensky-Badekas es una variación de los métodos de siete parámetros. Tiene tres parámetros adicionales que definen el origen de rotación XYZ. A veces este punto se conoce como el origen del datum o sistema de coordenadas geográficas. Dado el origen XYZ del punto de rotación, es posible calcular una transformación de marco de coordenadas equivalente. Los valores dx, dy y dz cambiarán, pero los valores de escala y rotación seguirán siendo los mismos.
Método de Molodensky
El método de Molodensky convierte directamente entre dos sistemas de coordenadas geográficas sin convertir realmente a un sistema XYZ. El método de Molodensky requiere tres desplazamientos (dx, dy, dz) y las diferencias entre los semiejes mayores (Δa) y los aplanamientos (Δf) de los dos esferoides. El motor de proyección calcula automáticamente las diferencias de esferoide según los datums implicados.
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- h = altura del elipsoide (metros)
- Φ = latitud
- λ = longitud
- a = semieje mayor del esferoide (metros)
- b = semieje menor del esferoide (metros)
- f = aplanamiento del esferoide
- e = excentricidad del esferoide
M y N son los radios meridional y primero vertical de curvatura, respectivamente, en una latitud determinada. Las ecuaciones para M y N son:
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Se resuelve para Δλ y ΔΦ. El motor de proyección suma automáticamente las cantidades.
Método de Molodensky abreviado
El método de Molodensky abreviado es una versión simplificada del método de Molodensky. Vea las ecuaciones a continuación:
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