Comprensión del ajuste por mínimos cuadrados

Este tema se aplica sólo a ArcEditor y ArcInfo.

Es posible utilizar una única observación (rumbo o distancia) de un punto topográfico existente para calcular las coordenadas de un nuevo punto topográfico. No obstante, es arriesgado confiar en una única observación, ya que no hay forma de saber si la medición es correcta o no. Con una segunda medición del mismo o de otro punto topográfico existente se confirmarán (o comprobarán) las coordenadas definidas por la primera medición. Por lo general, cuanto mayor sea el número de mediciones que se efectúen para arreglar las coordenadas de un punto topográfico, más precisas serán las mismas. A estas mediciones adicionales se les denomina mediciones redundantes.

Promedio ponderado

Todas las mediciones contienen un cierto grado de error. Por tanto, cada medición calculará unas coordenadas ligeramente diferentes para el mismo punto topográfico. Debido a cuestiones prácticas, debe haber una ubicación de coordenadas en cada punto topográfico. Es posible obtener una única coordenada inmejorablemente estimada a partir del cálculo de un promedio ponderado de las mediciones adicionales o redundantes, cada una con el peso definido por la exactitud de la medición.

Calcular un promedio ponderado

Aunque la aproximación al promedio ponderado es útil para un único punto, es insuficiente a la hora de calcular las coordenadas de varios puntos de una red, como es el caso de la estructura de parcela. Se requiere un método más avanzado para establecer las posibles y numerosas rutas de medición entre los puntos. Las técnicas y algoritmos del ajuste por mínimos cuadrados proporcionan la solución más rigurosa y comúnmente aceptada para el procesamiento de una red de mediciones y puntos.

Varios puntos en una red

Un ajuste por mínimos cuadrados es un procedimiento matemático basado en la teoría de la probabilidad y con el que se obtiene la ubicación más probable, estadísticamente hablando, de las coordenadas de puntos definidas por varias mediciones en una red. Desde el punto de vista matemático, un ajuste por mínimos cuadrados determina una solución ideal para las mediciones ponderadas, mediante la búsqueda de un valor mínimo para la suma de los cuadrados de los valores residuales de la medición. Un valor residual de medición es la cantidad necesaria para corregir una medición, para que así pueda tener cabida en la solución ideal hallada por el ajuste por mínimos cuadrados.

Utilizar un ajuste por mínimos cuadrados para ajustar una estructura de parcela

En la estructura de parcela, el ajuste por mínimos cuadrados emplea todos los datos de medición en conjunción con los puntos de control para estimar la coordenada más probable para cada punto en la red. Esta descripción de ajuste por mínimos cuadrados puede entenderse más fácilmente si tomamos en cuenta una ruta de trazado poligonal entre dos puntos de control en la red de estructura. Los puntos de estructura P1 y P5 deben coincidir con sus puntos de control correspondientes CP1 y CP2. El ajuste por mínimos cuadrados ajusta el error por cierre inadecuado entre P1 y CP1, así como entre P5 y CP2 a través de los puntos restantes P2, P3 y P4, de tal modo que P1 y P5 coincidan con sus puntos de control. Las coordenadas de P2, P3 y P4 se ajustarán siguiendo la solución ideal y las líneas serán de nuevo calculadas a partir de los puntos ajustados. En la estructura de parcela, la exactitud en las líneas de parcela actúa como un sistema ponderado en el ajuste por mínimos cuadrados. Las líneas de mayor altura se ajustarán en menor medida que las de menor altura. Cuanto mayor sea la exactitud, mayor será el peso de una línea de parcela. En el siguiente gráfico, la línea entre P2 y P3 posee una gran exactitud y, por tanto, un peso también alto. En el ajuste por mínimos cuadrados, la línea P2-P3 recibió un ajuste en menor escala en comparación a otras líneas de la ruta de trazado poligonal.

Ajuste por mínimos cuadrados con control

Las diferencias en los valores residuales entre las líneas originales y las líneas calculadas a partir de las coordenadas ajustadas desvelan la manera en la que las líneas de parcela encajan las unas con las otras, así como con los puntos de control. Un valor residual de gran tamaño supone un problema con la propia línea de parcela o con las líneas de parcela cercanas, ya que el valor original requirió un cambio significativo para adaptarse a la solución ideal.