Funktionsweise des Werkzeugs "Spline"

Das Werkzeug Spline verwendet eine Interpolationsmethode, bei der Werte mithilfe einer mathematischen Funktion geschätzt werden, die die gesamte Oberflächenkrümmung minimiert, wobei eine glatte Oberfläche entsteht, die genau durch die Eingabepunkte verläuft.

Konzeptioneller Hintergrund

Vom Konzept her ist es, als würde man eine Gummischeibe so biegen, dass sie durch die Punkte verläuft, während die Gesamtkrümmung der Oberfläche so gering wie möglich gehalten wird. Die Methode passt beim Durchlaufen der Referenzpunkte eine mathematische Funktion an eine angegebene Anzahl der am nächsten gelegenen Eingabepunkte an. Diese Methode ist am besten für leicht variierende Oberflächen geeignet, z. B. Höhenangaben, Wasserspiegelhöhen oder Verschmutzungskonzentrationen.

Bei der Grundform der Spline-Interpolation mit minimaler Krümmung muss der Interpolant die beiden folgenden Voraussetzungen erfüllen:

• Die Oberfläche muss genau durch die Datenpunkte verlaufen.
• Die Oberfläche muss eine minimale Krümmung aufweisen. Die Gesamtsumme der Quadrate der zweiten Ableitungswerte der Oberfläche, gemessen über allen Punkten der Oberfläche, muss ein Minimum sein.

Diese grundlegende Methode der minimalen Krümmung wird auch als Thin-Plate-Interpolation bezeichnet. Sie stellt eine glatte (kontinuierliche und differenzierbare) Oberfläche sowie kontinuierliche Oberflächen erster Ableitung sicher. Schnelle Änderungen bei Verlauf oder Neigung (der ersten Ableitung) können in der Nähe von Datenpunkten vorkommen. Deshalb ist dieses Modell für die Schätzung der zweiten Ableitung (Krümmung) nicht geeignet.

Sie können dieses Basisverfahren der Interpolation anwenden, indem Sie dem Argument Gewichtung des Werkzeugs Spline den Wert 0 zuweisen.

Spline-Typen

Es gibt zwei Spline-Methoden: geregelt und gespannt Mit der geregelten Methode (REGULARIZED) wird eine glatte, sich allmählich verändernde Oberfläche mit Werten erstellt, die außerhalb des Referenzdatenbereichs liegen können. Mit der gespannten Methode (TENSION) wird die Steifheit der Oberfläche gemäß dem Charakter des modellierten Phänomens gesteuert. Dabei entsteht eine weniger glatte Oberfläche mit Werten, die durch den Referenzdatenbereich stärker eingeschränkt sind.

Typ REGULARIZED

Die Option REGULARIZED ändert die Minimierungskriterien, sodass die Werte der dritten Ableitung in die Minimierungskriterien integriert werden. Der Parameter Gewichtung gibt die Gewichtung an, die den Werten der dritten Ableitung während der Minimierung zugeordnet wird. Dies wird in der Literatur als τ (Tau) bezeichnet. Höhere Werte für diesen Term führen zu glatteren Oberflächen. Werte zwischen 0 und 0,5 sind geeignet. Die Option REGULARIZED stellt eine glatte Oberfläche sowie glatte Oberflächen erster Ableitung sicher. Diese Methode ist nützlich, wenn die zweite Ableitung der interpolierten Oberfläche berechnet werden muss.

Typ TENSION

Die Option TENSION ändert die Minimierungskriterien, sodass Werte der ersten Ableitung in die Minimierungskriterien integriert werden. Der Parameter Gewichtung gibt die Gewichtung an, die den Werten der ersten Ableitung während der Minimierung zugeordnet wird. Dies wird in der Literatur als Φ (Phi) bezeichnet. Die Gewichtung Null führt zur grundlegenden Thin-Plate-Spline-Interpolation. Durch die Auswahl eines größeren Wertes wird die Steifheit der Platte reduziert. Am Grenzwert, wenn Phi sich dem Unendlichen nähert, gleicht die Oberfläche der Form einer Membran oder Gummiplatte, die durch die Punkte verläuft. Die interpolierte Oberfläche ist glatt. Erste Ableitungen sind stetig, jedoch nicht glatt.

Zusätzliche Spline-Parameter

Zwei zusätzliche Parameter ermöglichen eine weitere Steuerung der Ausgabe-Oberfläche: "Gewichtung" und "Anzahl an Punkten".

Parameter "Gewichtung"

Bei der Methode REGULARIZED definiert der Parameter Gewichtung die Gewichtung der dritten Ableitungen der Oberfläche im Ausdruck zur Minimierung der Krümmung. Je höher die Gewichtung, desto glatter die Ausgabe-Oberfläche. Die eingegebenen Werte für diesen Parameter müssen größer gleich Null sein. Typische mögliche Werte sind 0, 0,001, 0,01, 0,1 und 0,5.

Bei der Methode TENSION definiert der Parameter Gewichtung die Gewichtung der Spannung. Je höher die Gewichtung, desto gröber die Ausgabe-Oberfläche. Die eingegebenen Werte müssen größer gleich Null sein. Typische Werte sind 0, 1, 5 und 10.

Parameter "Anzahl an Punkten"

Mit dem Parameter Anzahl an Punkten wird die Anzahl der Punkte für die Berechnung jeder interpolierten Zelle angegeben. Je mehr Eingabepunkte Sie festlegen, desto mehr wird jede Zelle von entfernten Punkten beeinflusst und desto glatter ist die Ausgabe-Oberfläche. Je höher die Anzahl der Punkte, desto länger dauert die Verarbeitung des Ausgabe-Rasters.

Gleichung für Spline

Der Algorithmus für das Werkzeug "Spline" verwendet für die Oberflächeninterpolation die folgende Formel:

• Dabei gilt:

  j = 1, 2, ..., N

  N ist die Anzahl der Punkte.

  λ_j sind die durch die Lösung eines Systems linearer Gleichungen ermittelten Koeffizienten.

  r_j ist die Entfernung des Punktes (x,y) zum j-ten Punkt.

T(x,y) und R(r) werden je nach gewählter Option unterschiedlich definiert.

Zu Berechnungszwecken wird der gesamte Raum des Ausgabe-Rasters in Blöcke bzw. Bereiche gleicher Größe unterteilt. Die Anzahl der Bereiche in X- und Y-Richtung ist identisch, ihre Form ist rechteckig. Die Anzahl der Bereiche wird bestimmt, indem die Gesamtzahl der Punkte im Eingabe-Punkt-Dataset durch den für die Anzahl der Punkte angegebenen Wert dividiert wird. Bei uneinheitlich verteilten Daten können die Bereiche eine wesentlich abweichende Anzahl an Punkten enthalten, wobei der Wert für die Anzahl der Punkte nur einen geschätzten Durchschnitt darstellt. Falls in einem Bereich die Anzahl der Punkte kleiner als 8 ist, wird der Bereich erweitert, bis er mindestens 8 Punkte enthält.

Für die Option REGULARIZED gilt:

T(x,y) = a1 + a2x + a3y

• Dabei gilt:

  a_i sind die durch die Lösung eines Systems linearer Gleichungen ermittelten Koeffizienten.

Und:

• Bedingung:

  r ist die Entfernung zwischen dem Punkt und der Referenz.

  ist der Parameter Gewichtung.

  K_o ist die modifizierte Bessel-Funktion.

  c ist ein konstantes Gleiches zu 0,577215.

Für die Option TENSION gilt:

T(x,y) = a1

• Dabei gilt:

  a₁ ist ein durch die Lösung eines Systems linearer Gleichungen ermittelter Koeffizient.

Und:

• Dabei gilt:

  r ist die Entfernung zwischen dem Punkt und der Referenz.

  φ² ist der Parameter Gewichtung.

  K_o ist die modifizierte Bessel-Funktion.

  c ist ein konstantes Gleiches zu 0,577215.

Regionale Verarbeitung der Ausgabe

Zu Berechnungszwecken wird der gesamte Raum des Ausgabe-Rasters in Blöcke bzw. Bereiche gleicher Größe unterteilt. Die Anzahl der Bereiche in X- und Y-Richtung ist identisch, ihre Form ist rechteckig. Die Anzahl der Bereiche wird bestimmt, indem die Gesamtzahl der Punkte im Eingabe-Punkt-Dataset durch den für die Anzahl der Punkte angegebenen Wert dividiert wird. Bei uneinheitlich verteilten Daten können die Bereiche eine wesentlich abweichende Anzahl an Punkten enthalten, wobei der Wert für die Anzahl der Punkte nur einen geschätzten Durchschnitt darstellt. Falls in einem Bereich die Anzahl der Punkte kleiner als 8 ist, wird der Bereich erweitert, bis er mindestens 8 Punkte enthält.

Referenzliste

Franke, R. 1982. Smooth Interpolation of Scattered Data by Local Thin Plate Splines. Computer und Mathematik mit Anwendungen. Vol. 8. No. 4. S. 273 - 281. Großbritannien.

Mitas, L., and H. Mitasova. 1988. General Variational Approach to the Interpolation Problem. Computer und Mathematik mit Anwendungen. Vol. 16. No. 12. S. 983 - 992. Großbritannien.