Anpassung der kleinsten Quadrate

Dieses Thema gilt nur für ArcEditor und ArcInfo.

Eine einzelne Beobachtung (Peilung und Entfernung) von einem vorhandenen Messpunkt kann zur Berechnung der Koordinaten für einen neuen Messpunkt verwendet werden. Es ist jedoch riskant, sich auf eine einzige Beobachtung zu verlassen, da es keine Möglichkeit gibt festzustellen, ob die Messung richtig ist. Eine zweite Messung vom selben oder einem anderen vorhandenen Messpunkt bestätigt oder überprüft die Koordinaten, die durch die erste Messung definiert wurden. Im Allgemeinen gilt: Je mehr Messungen die Koordinaten eines Messpunkts stützen, desto zuverlässiger sind die Koordinaten. Diese zusätzlichen Messungen werden als redundante Messungen bezeichnet.

Gewichteter Durchschnitt

Alle Messungen enthalten eine gewisse Fehlerquote. Daher berechnet jede Messung leicht abweichende Koordinaten für denselben Messpunkt. Aus praktischen Gründen sollte es eine Koordinatenposition für einen Messpunkt geben. Eine einzelne, optimal geschätzte Koordinate kann durch Berechnen eines gewichteten Durchschnitts der zusätzlichen oder redundanten Messungen abgeleitet werden, wobei jede Gewichtung durch die Messgenauigkeit definiert wird.

Berechnen eines gewichteten Durchschnitts

Auch wenn der Ansatz des gewichteten Durchschnitts für einzelne Punkte funktioniert, so reicht er nicht aus, um die Koordinaten für mehrere Punkte in einem Netzwerk, z. B. die Parcel Fabric, zu berechnen. Es ist eine erweiterte Methode erforderlich, die die zahlreichen möglichen Messpfade zwischen den Punkten berücksichtigt. Die Techniken und Algorithmen in einer Anpassung der kleinsten Quadrate stellen die strengste und allgemein anerkannte Lösung für die Bearbeitung eines Netzwerks von Messungen und Punkten bereit.

Mehrere Punkte in einem Netzwerk

Eine Anpassung der kleinsten Quadrate ist ein mathematisches Verfahren, das auf der Wahrscheinlichkeitstheorie basiert, die die statistisch wahrscheinlichste Koordinatenposition von Punkten ableitet, die durch mehrere Messwerte in einem Netzwerk definiert sind. Mathematisch ausgedrückt: Eine Anpassung der kleinsten Quadrate definiert eine optimale Lösung für gewichtete Messungen durch Ermitteln eines Mindestwerts für die Summe der Quadrate der Residuen. Ein Residuum ist die Menge, die benötigt wird, um einen Messwert zu korrigieren, damit er in die optimale Lösung passt, die von der Anpassung der kleinsten Quadrate ermittelt wurde.

Anpassen einer Parcel Fabric mithilfe einer Anpassung der kleinsten Quadrate

In der Parcel Fabric verwendet die Anpassung der kleinsten Quadrate alle Messdaten zusammen mit Passpunkten, um die wahrscheinlichste Koordinate für jeden Punkt im Netzwerk zu schätzen. Diese Beschreibung der Anpassung der kleinsten Quadrate lässt sich besser verstehen, wenn man sich einen Polygonzugpfad zwischen zwei Passpunkten im Fabric-Netzwerk vorstellt. Die Fabric-Punkte P1 und P5 sollten lagegleich mit ihren entsprechenden Passpunkten CP1 und CP2 sein. Die Anpassung der kleinsten Quadrate passt den Fehlschlussfehler zwischen P1 und CP1 sowie P5 und CP2 durch die verbleibenden Punkte P2, P3 und P4 so an, dass P1 und P5 mit ihren Passpunkten lagegleich werden. Die Koordinaten von P2, P3 und P4 werden an die optimale Lösung angepasst und die Linien werden aus den angepassten Punkten neu berechnet. In der Parcel Fabric fungiert die Genauigkeit für Flurstückslinien als Gewichtungssystem in der Anpassung der kleinsten Quadrate. Linien mit höheren Gewichtungen werden weniger angepasst als Linien mit niedrigeren Gewichtungen. Je höher die Genauigkeit ist, desto höher ist die Gewichtung für eine Flurstückslinie. In der Grafik unten besitzt die Linie zwischen P2 und P3 eine hohe Genauigkeit und somit eine hohe Gewichtung. In der Anpassung der kleinsten Quadrate hat die Linie P2–P3 proportional weniger von einer Anpassung erhalten als die anderen Linien im Polygonzugpfad.

Anpassung der kleinsten Quadrate mit Passpunkten

Die restlichen Unterschiede zwischen den ursprünglichen Linien und den Linien, die aus den angepassten Koordinaten berechnet wurden, geben Aufschluss darüber, wie gut die Flurstückslinien zueinander sowie zu den Passpunkten passen. Ein großes Residuum weist auf ein Problem mit der Flurstückslinie selbst oder nahegelegenen Flurstückslinien hin, da der ursprüngliche Wert eine erhebliche Änderung erfordert hat, damit er in die optimale Lösung passte.