Z スコアと p 値

一般的に、統計テストの最初の作業は、帰無仮説を特定することです。パターン分析ツール（[パターン分析] ツールセットと[クラスタ分析のマッピング] ツールセット）の帰無仮説は、フィーチャそのもの、またはこれらのフィーチャに関連付けられている値の CSR（Complete Spatial Randomness: 空間完全ランダム性）です。パターン分析ツールによって返される Z スコアと p 値は、この帰無仮説を棄却できるかどうかを示します。一般的に、Z スコアと p 値に基づいて帰無仮説を却下しても問題がないことを確認するために、パターン分析ツールを実行します。これは、ランダムなパターンではなく、フィーチャ（またはこれらのフィーチャに関連付けられている値）が統計的に有意なクラスタリングまたは分散を示していることを意味するからです。地形（または空間データ）にクラスタリングなどの空間構造がある場合は、一定の内在する空間プロセスがアクティブであることを示し、これは通常、地理学者や GIS アナリストにとって最も重要な情報です。

p 値は、確率です。パターン分析ツールでは、これは、観測された空間パターンが一定のランダム プロセスによって作成された確率です。p 値が非常に小さければ、観測された空間パターンがランダム プロセスの結果である可能性が非常に低い（確率が小さい）ことを意味するため、帰無仮説を棄却できます。ここで、値が小さいと判断するための基準を知っておく必要があります。この重要な情報については、後で示す表と説明をご参照ください。

Z スコアは、標準偏差です。たとえば、ツールによって返された Z スコアが +2.5 であれば、標準偏差が 2.5 であることを示します。Z スコアと p 値は、次に示すように、標準正規分布に関連付けられます。

非常に小さい p 値に関連付けられている非常に高いまたは非常に低い（負）Z スコアが正規分布の尾部に見られます。フィーチャ パターン分析ツールを実行し、それが小さい p 値と非常に高いまたは非常に低い Z スコアを示した場合、これは観測された空間パターンが帰無仮説によって表される理論的なランダム パターン（CSR）を反映している可能性がほとんどないことを示します。

帰無仮説を棄却するためには、誤りである（帰無仮説を不当に棄却する）リスクをどれほど許容できるかを主観的に判断する必要があります。したがって、空間統計を実行する前に、信頼度を選択します。一般的に使用される信頼度は、90%、95%、または 99% です。99% の信頼度は、この場合、最も保守的であり、パターンがランダムな可能性によって作成された確率が非常に小さい（1% 未満）場合を除き、帰無仮説を棄却しないことを示します。次の表は、重要な p 値と Z スコアを信頼度別に示しています。

Z スコア（標準偏差）	p 値（確率）	信頼度
< -1.65 または > +1.65	< 0.10	90%
< -1.96 または > +1.96	< 0.05	95%
< -2.58 または > +2.58	< 0.01	99%

ここで、1 つの例を検証します。95% の信頼度を使用する場合、重要な Z スコア値は標準偏差 -1.96 および +1.96 です。95% の信頼度に関連付けられている p 値は 0.05 です。Z スコアが -1.96 と +1.96 の間である場合、p 値が 0.05 より大きくなり、帰無仮説を棄却できません。示されたパターンはランダムな空間プロセスの結果である可能性が非常に高いと考えられます。Z スコアがこの範囲外である場合（たとえば、標準偏差が -2.5 や +5.4 である場合）、観測された空間パターンが特異すぎるため、ランダムな可能性の結果ではない可能性があり、p 値はこれを反映するために小さくなります。この場合、帰無仮説を棄却して、統計的に有意な空間構造がデータ内で発生する原因の特定を進めることができます。

ここで重要な点は、正規分布の中央の値（たとえば、Z スコアが 0.19 や -1.2 であること）が必要とされる結果を表すことです。Z スコアの絶対値が大きく、確率が小さい（正規分布の尾部にある）場合は、特異で非常に重要な情報を示していることになります。たとえば、[ホット スポット分析（Hot Spot Analysis（Getis-Ord Gi*））] ツールの場合、統計的に有意なホット スポットまたは統計的に有意なコールド スポットが存在することが「特異」な状態です。

帰無仮説

[空間統計] ツールボックスのいくつかの統計（空間的自己相関分析（Spatial Autocorrelation（Global Moran's I））]、[クラスタ/外れ値分析（Cluster and Outlier Analysis（Anselin Local Moran's I））]、および [ホット スポット分析（Hot Spot Analysis（Getis-Ord Gi*））] など）は、推定的な空間パターン分析手法です。推定的な統計は、確率理論に基づいています。確率は、可能性を計測するための基準であり、基になるすべての統計テストは（直接的または間接的に）、分析の結果に見られる可能性の役割を評価する確率の算出を行うものです。通常、従来の（非空間的な）統計では、ランダムなサンプルを使用して、サンプル データが母集団全体を適切に表現（反映）している確率の特定が試みられます。たとえば、出口調査の結果（候補者 A が候補者 B に僅差で当選することを示す）が選挙の最終結果を反映する可能性を調べる必要がある場合があります。しかし、上記の空間的自己相関タイプの統計を含む多くの空間統計では、スタディ エリアについて使用可能なすべてのデータ（すべての犯罪、すべての感染症ケース、すべての国勢調査区域の属性など）を処理することがよくあります。母集団全体の統計を計算する場合、推定は一切ありません。事実があるのみです。したがって、可能性または確率を考慮する意味がなくなります。スタディ エリアのすべてのデータに適用されることがよくある空間パターン解析ツールは、確率を正当に報告することもできます。そのためには、これらのツールは、帰無仮説を通じて、データは実際には一定のより大きい母集団の一部であると想定します。これについて、より詳細に説明します。

ランダム化帰無仮説:[空間統計] ツールボックスのツールは、必要に応じて、統計的な有意性のテストの基盤としてランダム化帰無仮説を使用します。ランダム化帰無仮説は、観測されたデータの空間パターンは多くの（n!）考えられる空間的配置の 1 つを表すと想定します。データ値を取得してスタディ エリアのフィーチャに適用すると、これらの値の 1 つの考えられる空間的配置となります（データ値を取得して任意に適用することは、ランダムな空間プロセスの 1 つの例です）。ランダム化帰無仮説は、この操作（取得して適用）を無限に実行できる場合は、一般的に、観測されたパターン（実際のデータ）と著しく異ならないパターンが生成されることを示します。まったくの偶然でスタディ エリアの一部分にすべての最高値を適用することがありますが、それはまれです。ランダム化帰無仮説は、データが多数の考えられるバージョンの空間完全ランダム性の 1 つであることを示します。データ値は固定されており、その空間的配置のみが変化します。

正規化帰無仮説:広く使用されている派生帰無仮説は、正規化帰無仮説です。これは [空間統計] ツールボックスに実装されていません。正規化帰無仮説は、観測値は一定のランダム サンプリング プロセスから得られた値の無限に大きい正規分布している母集団から派生すると想定します。異なるサンプルを使用すると、異なる値が得られますが、これらの値がより大きい分布を表すものとなることは十分に予想されます。正規化帰無仮説は、値が多数の考えられる値のサンプルの 1 つを表すことを示します。観測されたデータを正規のカーブに適合させ、値をその分布からランダムに選択してスタディ エリアに適用することができる場合は、一般的に、観測されたパターンまたは分布（実際のデータ）と著しく異ならない値のパターンおよび分布が生成されます。正規化帰無仮説は、データとその配置が多数の考えられるランダム サンプルの 1 つであることを示します。データ値もその空間的配置も固定されていません。正規化帰無仮説は、データ値が正規分布している場合にのみ適切です。

参考資料:

• Ebdon, David, Statistics in Geography, (Blackwell, 1985).
• Mitchell, Andy『The Esri Guide to GIS Analysis, Volume 2』Esri Press、2005 年
• Goodchild, M.F., "Spatial Autocorrelation," Catmog 47 (Geo Books, 1986).