反距离权重插值的工作原理

反距离权重 (IDW) 插值可以明确地验证这样一种假设:彼此距离较近的事物要比彼此距离较远的事物更相似。当为任何未测量的位置预测值时,反距离权重法会采用预测位置周围的测量值。与距离预测位置较远的测量值相比,距离预测位置最近的测量值对预测值的影响更大。反距离权重法假定每个测量点都有一种局部影响,而这种影响会随着距离的增大而减小。由于这种方法为距离预测位置最近的点分配的权重较大,而权重却作为距离的函数而减小,因此称之为反距离权重。在以下示例中对分配给数据点的权重进行了说明:

搜索邻域

“权重”窗口包含分配给各数据点的权重的列表,其中各数据点用于生成通过十字光标进行标记的位置处的预测值。

了解有关 ArcGIS Geostatistical Analyst 中提供的插值方法的详细信息

幂函数

如上所述,权重与反距离(数据点与预测位置之间)的 p 次幂成正比。因此,随着距离的增加,权重将迅速降低。权重下降的速度取决于值 p。如果 p = 0,则表示距离没有减小,因为每个权重 λi 均相同,预测值将是搜索邻域内的所有数据值的平均值。随着 p 值的增大,较远数据点的权重将迅速减小。如果 p 值极大,则仅最邻近的数据点会对预测产生影响。

IDW 权重

Geostatistical Analyst 使用大于或等于 1 的幂值。当 p = 2 时,此方法称为反距离平方权重插值。将 P = 2 用作默认值。尽管没有理论依据证明该值优于其他值,但应通过预览输出和检验交叉验证统计信息来调查更改 p 值时产生的影响。

可通过将均方根预测误差 (RMSPE) 降至最小值来确定最佳幂值。RMSPE 是在交叉验证过程中计算出的统计数据。RMSPE 用于对预测表面的误差进行量化。Geostatistical Analyst 会对若干个不同的幂值进行评估,从而确定出可以生成最小 RMSPE 的幂值。下图说明了 Geostatistical Analyst 是如何计算出最佳幂值的。针对几个不同的幂值绘制 RMSPE(使用相同的数据集)。根据点拟合一条曲线(局部二次多项式插值法),然后从该曲线上将提供最小 RMSPE 的幂确定为最佳幂。

幂函数图

搜索邻域

由于彼此距离较近的事物比彼此距离较远的事物更加相似,因此,随着位置之间的距离增大,测量值与预测位置的值的关系将变得越来越不密切。为缩短计算时间,可以将几乎不会对预测产生影响的较远的数据点排除在外。因此,通过指定搜索邻域来限制测量值的数量是一种常用方法。邻域的形状限制了要在预测中使用的测量值的搜索距离和搜索位置。其他邻域参数限制了将在该形状中使用的位置。在下图中,在为没有测量值的位置(黄色点)预测值时,将使用五个测量点(相邻点)。

相邻点

输入数据以及尝试创建的表面会影响邻域的形状。如果数据中不存在方向影响,则需要考虑在各个方向都均等的数据点。为此,将搜索邻域定义为圆。但是,如果数据中存在方向影响,如盛行风,则可能需要对此影响进行调整,方法是:将搜索邻域的形状更改为主轴与风向平行的椭圆。此方向影响的调整是合理的,因为众所周知,对比于与风向垂直但距离预测位置较近的位置,与预测位置风向相逆的位置在远距离位置处会更加相似。

指定完邻域形状之后,便可限制应在该形状中使用哪些数据位置。可以定义要使用的最大位置数和最小位置数,并可以将邻域划分成若干分区。如果将邻域划分成若干分区,则会将最大值和最小值限制应用到各个分区。以下显示了可以使用和显示的几个不同分区。

邻域分区

在数据视图中高亮显示的点显示了在椭圆中心预测某个位置(十字光标的位置)时将使用的位置和权重。搜索邻域被限制在椭圆的内部。在如下示例中,将为南部分区内的一个点(红色)和西部分区内的两个点(红色)分配大于 10% 的权重。在南部分区内,将为一个点(褐色)分配介于 5% 和 10% 之间的权重。将为搜索邻域中的其他点分配较小的权重。

邻域分区权重

何时使用反距离权重法

反距离权重剖面

使用反距离权重法计算出的表面取决于幂值 (p) 的选择和搜索邻域策略。反距离权重法是一个精确插值器,其中插值表面内的最大值和最小值(参见上图)只能出现在采样点处。输出表面对拓扑和异常值的出现十分敏感。反距离权重法假定正在被建模的现象会受到局部变化的影响,而局部变化可以通过定义合适的搜索邻域进行捕获(已建模)。由于反距离权重法不提供预测标准误差,因此证明使用此模型是否合理可能有点困难。


7/10/2012