スプライン（Spline）の仕組み
[スプライン（Spline）] ツールでは値を推測する内挿法が用いられ、サーフェス全体の曲率を最小限に抑える数学関数を使用することで、入力ポイントを正確に通過する滑らかなサーフェスが得られます。
概念的背景
概念的には、サンプル ポイントがその値の高さまで伸ばされます。スプラインは、ゴム シートのサーフェス全体の曲率を最小にするように、ゴム シートを曲げて入力ポイントを通過するように設定します。これは、サンプル ポイントを通過するように、近傍にある指定数の入力ポイントに数学関数を当てはめます。この方法は、標高、地下水面の高さ、汚染濃度など変化が小さいサーフェスの生成に最適です。
基本的な最小曲率スプライン内挿では、次の 2 つの条件に基づいてポイントが内挿されます。
- サーフェスはデータ ポイントを正確に通過すること。
- サーフェスの曲率が最小になること。サーフェス上の各ポイントに渡される二次導関数項の二乗の累積合計が最小になるように内挿されます。
基本的な最小曲率手法は「薄板補間」とも呼ばれます。連続する一次導関数サーフェスと併用することで、滑らかな（連続していて微分可能な）サーフェスが得られます。複数のデータ ポイントが近接している部分では、傾斜（一次導関数）が急激に変化する可能性があります。したがって、このモデルは二次導関数（曲率）の推定には適していません。
[スプライン（Spline）] ツールの [ウェイト] 引数を値 0 にすることによって、基本的な内挿手法を適用できます。
スプラインの種類
スプライン法には「レギュラー」と「テンション」の 2 種類があります。レギュラー法はスムーズで徐々に変化するサーフェスを作成し、サンプル データの範囲外の値をとることができます。テンション法はモデル化する現象の特性に合わせて、サーフェスの剛性を制御します。作成するサーフェスはレギュラー法よりもスムーズでなく、値はサンプル データ範囲により一層密接に制限されます。
レギュラー スプライン
[レギュラー] オプションを指定すると最小化条件が変更され、三次導関数項が最小化条件に組み込まれます。[ウェイト] パラメータは、最小化時に三次導関数項に付加するウェイトを指定し、τ（タウ）で表されます。この項の値が大きいほど、サーフェスが滑らかになります。適切な値は 0 ～ 0.5 です。[レギュラー] オプションを使用すると、スムーズな一次導関数サーフェスにより滑らかなサーフェスが得られます。内挿サーフェスの二次導関数を求める必要がある場合に、この手法が役立ちます。
テンション スプライン
[テンション] オプションを指定すると最小化条件が変更され、一次導関数項が最小化条件に組み込まれます。[ウェイト] パラメータは、最小化時に一次導関数項に付加するウェイトを指定し、φ（ファイ）で表されます。ウェイトをゼロにすると、基本的な薄板スプライン補間が適用されます。ウェイトが大きいほど薄板の剛性が小さくなり、ファイを無限に大きくすると、サーフェスは、指定したポイントを通過する薄膜（ゴム シート）の形状に近づきます。内挿されたサーフェスは滑らかです。一次導関数は連続性がありますが、滑らかではありません。
その他のスプライン パラメータ
出力サーフェスの細かな制御は、ウェイトとポイント数の 2 つの追加パラメータにより行います。
ウェイト パラメータ
レギュラー スプライン法の場合、[ウェイト] パラメータは、曲率最小化式におけるサーフェスの三次導関数のウェイトを定義します。ウェイトが大きくなるほど、出力サーフェスが滑らかになります。このパラメータに入力する値は、0 以上である必要があります。使用される代表的な値は、0、0.001、0.01、0.1、および 0.5 です。
テンション スプライン法の場合、[ウェイト] パラメータは張力の加重を定義します。加重が大きくなるほど、出力サーフェスが粗くなります。入力する値は、0 以上である必要があります。代表的な値は、0、1、5、および 10 です。
ポイント数パラメータ
[ポイント数] は、内挿する各セルの計算に使用するポイント数です。指定する入力ポイント数が多いほど、離れたポイントから各セルが受ける影響が大きくなり、出力サーフェスが滑らかになります。ポイント数が多くなるほど、出力ラスタの処理時間が長くなります。
スプラインの数式
[スプライン（Spline）] ツールでは、次の数式を使用してサーフェスが内挿されます。
- 各項目の説明は、次のとおりです。
j = 1, 2, ..., N
N = ポイント数
λj = 一次方程式の解に基づく係数
rj = ポイント（x,y）から jth ポイントまでの距離
T(x,y) と R(r) は、選択したオプションによって異なります。
計算時には、出力ラスタ全体が、サイズの等しい複数のブロックまたは領域に分割されます。X 方向と Y 方向の領域数は同じであり、領域の形状は四角形です。その際、「入力ポイント データセットの合計ポイント数」÷「指定したポイント数」が領域数となります。分布が均一でないデータの場合、各領域のポイント数が大きく異なる可能性があり、ポイント数パラメータの値はあくまでおよその平均となります。領域のポイント数が 8 個に満たない場合、その領域は、少なくとも 8 個のポイントが含まれるように拡張されます。
レギュラー オプションについて
T(x,y) = a1 + a2x + a3y
- 各項目の説明は、次のとおりです。
ai = 一次方程式の解に基づく係数
および
- 各項目の説明は、次のとおりです。
r = ポイントとサンプル間の距離
= [ウェイト] パラメータKo = 変形ベッセル関数
c = 定数 0.577215
テンション オプション
T(x,y) = a1
- 各項目の説明は、次のとおりです。
a1 = 一次方程式の解に基づく係数
および
- 各項目の説明は、次のとおりです。
r = ポイントとサンプル間の距離
φ2 = [ウェイト] パラメータ
Ko = 変形ベッセル関数
c = 定数 0.577215
出力時の領域処理
計算時には、出力ラスタ全体が、サイズの等しい複数のブロックまたは領域に分割されます。X 方向と Y 方向の領域数は同じであり、領域の形状は四角形です。その際、「入力ポイント データセットの合計ポイント数」÷「指定したポイント数」が領域数となります。分布が均一でないデータの場合、各領域のポイント数が大きく異なる可能性があり、ポイント数パラメータの値はあくまでおよその平均となります。ポイント数が 8 個に満たない領域がある場合、その領域は、少なくとも 8 個のポイントが含まれるように拡張されます。
参考文献
Franke, R. 1982. Smooth Interpolation of Scattered Data by Local Thin Plate Splines.Computer and Mathematics with Appllications.Vol. 8. No. 4. pp.273–281. Great Britain.
Mitas, L., and H. Mitasova. 1988. General Variational Approach to the Interpolation Problem.Computer and Mathematics with Appllications.Vol. 16. No. 12. pp.983–992. Great Britain.